Some philosophical disquisions around the problem of the existence of infinite in mathematics
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Jul 15, 2017
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In this article we present some aspects about the problem of existence in mathematics, taking as reference of the actual infinity. First we describe the conceptions of the ancients about the infinity and the aristotelian arguments to deny the existence of the actual infinity. Next, we describe the incorporation of the actual infinity, established by Georg Cantor between 1880 and 1896. We then discuss the problem of existence in mathematics posed by the French mathematicians Borel, Baire and Lebesgue. From the problem of effective existence at each of the levels of Baire, we describe the four existential categories, posed by the Russian mathematician Nicolás Lusin; Then Lusin's position is analyzed in terms of the thematization theory introduced by Jean Cavaillès and Jean-Louis Gardies. Finally we argue in the need to establish a philosophy of mathematics from the inside of mathematics.
- Baire's classes
- Ontology of mathematics
- Epistemology
- Existence in mathematics
Addison, J. (1959). “Separation principles in the hierarchies of classical and effective descriptive set theory”. Fund Math, 123-135.
Aristóteles. (1977). “Física”. En Aristóteles, Obras (F. Samarach, Trad., Segunda ed., Vol. I, págs. 565-704). Madrid, España: Aguilar.
Baire, R. (1899). “Sur les Fonctions de variables reélles”. Annali di matem.pura ed appl., 3, 1-123.
Baire, R., Borel, É., Hadamard, J., & Lebesgue, H. (1905). “Cinq lettres sur la théorie des ensembles”. Bulletin de la Société Mathématique de France, 33, 261-273.
Bolzano, B. (1991). Paradojas del infinito. México: Mathema.
Borel, E. (1898). Méthodes et problèmes de la théorie de fonctions.Paris: Guathier-Villars.
Cantor, G. (1995). Contributions to the Founding of the Theory. New York: Dover Publications.
Cantor, G. (2006). Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta (Primera edición 1883 ed.). (J. Ferreiros, & E. Gómez-Caminero, Trads.) Barcelona: Editorial Crítica, S.L.
Cavaillès, J. .. (1992). Método axiomático y formalismo. México: Servicios Editoriales, UNAM.
Chaves, A. (2006). Las Clases de Baire en el surgimiento de los conjuntos analíticos.Cali: Tesis de maestría, Universidad del Valle.
Choquet, G. (1959). “Ensembles K-analytiques et K-souliniens. Cas général et cas metrique”. Ann. Inst. Fourier, 9, 75-81.
Davies, R. (1952). “Subsets of finite measure in anlytic sets”. Indag. Math. Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser., A(55), 488-489.
Dellacherie, C. f. (1972). Ensembles anlytiques, capacités, mesures de Hausdorf. Lecture Notes in Math. No 295. Berlin: Springer Verlag.
Dugac, P. (1976). Notes et documents sur la vie et l’œuvre de René Baire. Archive for History of Exact Sciences. 15(4), 297-383.
Dummett, M. (1998). “La existencia de los objetos matemáticos”. Teorema, XVII/2. Valencia, España. Obtenido de http://sammelpunkt.philo.at:8080/1269/1/DUMMETT.pdf
Euclides. (1991). Elementos (Vol. I). (M. L. Castaños, Trad.) Madrid: Editorial Gredos, S. A.
Gardies, J. (2001). ¿Qu ́est-ce que et pourquoi l’analyse? Essai de définition. Paris: Librairie philosophique J. Vrin.
Gardies, J. (2004). Du mode d’existence des objets de la mathématique.Paris: Vrin.
Hoffman, J. (1970). The theory of analytic spaces. Aarhus: Various Publications Series, 10, Aarhus Universitet, Matematisk Institut.
Jech, T. (2003). Set theory. Berlin, Heidelberg, New York: The third millennium. Springer Verlag, Inc. Edition revised and expanded.
Kechris, A. (1994). Classical Descriptive Set Theory. New York: Springer-Verlag.
Keldych, L. (1940). “Démostration directe du théorème sur l’appartenance d’un élément canonique Eα `a la classe α et exemples arithmétiques d‘ensembles mesurables B de classes supérieures”. Comptes Rendus (Doklady) de l’académie des Sciences de Comptes Rendus (Doklady) de l’académie des Sciences de l’URSS. , XXVIII(8).
Kunugi, K. (1935). “La theorie des ensembles analytiques et les espaces abstraits”. J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., Ser. I, Math., 4, 1-40.
Kuratowski, C. (1933). Topologie. Vol. I. Varsovia: Monografie Matematyczne, Warszawa.
Kuratowski, C. (1936). “Sur les théorèmes de séparation dans la théorie des ensembles”. Fund. Math., 26, 183-191.
Lebesgue, H. (1905). “Sur les functions représentables analytiquement”. Journal de Math. Pures et Appl., 6(1), 139-216.
Lebesgue, H. (1928). Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives.New York: Chelsea publishing company Bronx.
Lusin, N. (1914). “Sur un problème de M. Baire”. C.R. Acad. Sci. Paris(158), 1258-1261.
Lusin, N. (1917). “Sur la classification de M. Baire”. C.R. Acad. Sci. Paris(164), 91-94.
Lusin, N. (1921). “Sur l’existence d’un ensemble non dénombrable qui est de premi`ere catégorie dans tout ensemble parfait”. Fund. Math., 155-157.
Lusin, N. (1927). “Remarques sur esembles projectifs”. C.R. Acad. Sci. Paris(185), 835-837.
Lusin, N. (1927A). “Sur les ensembles analytiques”. Fund. Math.(10), 1-95.
Lusin, N. (1930). Les ensembles analytiques et leurs applications. Paris: Gauthier-Villars.
Lusin, N. (1972). Les ensembles analytiques et leurs applications.New York: Segunda edición Chelsea Publishing Company.
Moore, G. (1982). Zermelo’s Axiom of Choice. New York: Springer-Verlag.
Moschovaquis, Y. (1980). “Descriptive Set Theory”. Stud. Logic Foundations Math. 100. Amsterdam-New York: North Holland Publishing Co.
Novikov, P. (1934). “Généralisation du deuxième principe de separabilité”. C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS(4), 8-11.
Recalde. L. & Arboleda, L. C. (2005). “El concepto de semicontinuidad de Baire”. Matemáticas. Enseñanza Universitaria, XIII, 63-82.
Sierpinski, W. (1931). “Les ensembles analytiques comme cribles au moyen des ensembles fermés”. Fund. Math.(17), 77-91.
Sierpinski, W. (1950). Les ensembles projectifs et analytiques. Paris: GhautierVillars.
Sion, M. (1961). “Continuous images of Borel sets”. Proc. Am. Math. Soc.(12), 385-391.
Sneider, V. (1945). “Teoría descriptiva de conjuntos en espacios topológicos”. Dokl. Akad. Nauk SSSR(50), 77-79.
Stone, A. (1962). Non-separable Borel sets. Warszawa: Rozprawy Matematyczne.
Zermelo, E. (1904). “Proof that every set can be well-ordered”. En J. Van Heijenoort, From Fregue to Gödel.. A Sorce Book in mathematical logic 1879-1931 (págs. 139-141). Cambridge: Harvard University Press.
Zermelo, E. (1908). “A New proof of the possibility of a well-ordering”. En J. Van Heijenoort, From Fregue to Gödel. A Source Book in mathematical Logic, 1879-1931.(págs. 183-198). Cambridge: Harvard University Press.
Aristóteles. (1977). “Física”. En Aristóteles, Obras (F. Samarach, Trad., Segunda ed., Vol. I, págs. 565-704). Madrid, España: Aguilar.
Baire, R. (1899). “Sur les Fonctions de variables reélles”. Annali di matem.pura ed appl., 3, 1-123.
Baire, R., Borel, É., Hadamard, J., & Lebesgue, H. (1905). “Cinq lettres sur la théorie des ensembles”. Bulletin de la Société Mathématique de France, 33, 261-273.
Bolzano, B. (1991). Paradojas del infinito. México: Mathema.
Borel, E. (1898). Méthodes et problèmes de la théorie de fonctions.Paris: Guathier-Villars.
Cantor, G. (1995). Contributions to the Founding of the Theory. New York: Dover Publications.
Cantor, G. (2006). Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta (Primera edición 1883 ed.). (J. Ferreiros, & E. Gómez-Caminero, Trads.) Barcelona: Editorial Crítica, S.L.
Cavaillès, J. .. (1992). Método axiomático y formalismo. México: Servicios Editoriales, UNAM.
Chaves, A. (2006). Las Clases de Baire en el surgimiento de los conjuntos analíticos.Cali: Tesis de maestría, Universidad del Valle.
Choquet, G. (1959). “Ensembles K-analytiques et K-souliniens. Cas général et cas metrique”. Ann. Inst. Fourier, 9, 75-81.
Davies, R. (1952). “Subsets of finite measure in anlytic sets”. Indag. Math. Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser., A(55), 488-489.
Dellacherie, C. f. (1972). Ensembles anlytiques, capacités, mesures de Hausdorf. Lecture Notes in Math. No 295. Berlin: Springer Verlag.
Dugac, P. (1976). Notes et documents sur la vie et l’œuvre de René Baire. Archive for History of Exact Sciences. 15(4), 297-383.
Dummett, M. (1998). “La existencia de los objetos matemáticos”. Teorema, XVII/2. Valencia, España. Obtenido de http://sammelpunkt.philo.at:8080/1269/1/DUMMETT.pdf
Euclides. (1991). Elementos (Vol. I). (M. L. Castaños, Trad.) Madrid: Editorial Gredos, S. A.
Gardies, J. (2001). ¿Qu ́est-ce que et pourquoi l’analyse? Essai de définition. Paris: Librairie philosophique J. Vrin.
Gardies, J. (2004). Du mode d’existence des objets de la mathématique.Paris: Vrin.
Hoffman, J. (1970). The theory of analytic spaces. Aarhus: Various Publications Series, 10, Aarhus Universitet, Matematisk Institut.
Jech, T. (2003). Set theory. Berlin, Heidelberg, New York: The third millennium. Springer Verlag, Inc. Edition revised and expanded.
Kechris, A. (1994). Classical Descriptive Set Theory. New York: Springer-Verlag.
Keldych, L. (1940). “Démostration directe du théorème sur l’appartenance d’un élément canonique Eα `a la classe α et exemples arithmétiques d‘ensembles mesurables B de classes supérieures”. Comptes Rendus (Doklady) de l’académie des Sciences de Comptes Rendus (Doklady) de l’académie des Sciences de l’URSS. , XXVIII(8).
Kunugi, K. (1935). “La theorie des ensembles analytiques et les espaces abstraits”. J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., Ser. I, Math., 4, 1-40.
Kuratowski, C. (1933). Topologie. Vol. I. Varsovia: Monografie Matematyczne, Warszawa.
Kuratowski, C. (1936). “Sur les théorèmes de séparation dans la théorie des ensembles”. Fund. Math., 26, 183-191.
Lebesgue, H. (1905). “Sur les functions représentables analytiquement”. Journal de Math. Pures et Appl., 6(1), 139-216.
Lebesgue, H. (1928). Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives.New York: Chelsea publishing company Bronx.
Lusin, N. (1914). “Sur un problème de M. Baire”. C.R. Acad. Sci. Paris(158), 1258-1261.
Lusin, N. (1917). “Sur la classification de M. Baire”. C.R. Acad. Sci. Paris(164), 91-94.
Lusin, N. (1921). “Sur l’existence d’un ensemble non dénombrable qui est de premi`ere catégorie dans tout ensemble parfait”. Fund. Math., 155-157.
Lusin, N. (1927). “Remarques sur esembles projectifs”. C.R. Acad. Sci. Paris(185), 835-837.
Lusin, N. (1927A). “Sur les ensembles analytiques”. Fund. Math.(10), 1-95.
Lusin, N. (1930). Les ensembles analytiques et leurs applications. Paris: Gauthier-Villars.
Lusin, N. (1972). Les ensembles analytiques et leurs applications.New York: Segunda edición Chelsea Publishing Company.
Moore, G. (1982). Zermelo’s Axiom of Choice. New York: Springer-Verlag.
Moschovaquis, Y. (1980). “Descriptive Set Theory”. Stud. Logic Foundations Math. 100. Amsterdam-New York: North Holland Publishing Co.
Novikov, P. (1934). “Généralisation du deuxième principe de separabilité”. C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS(4), 8-11.
Recalde. L. & Arboleda, L. C. (2005). “El concepto de semicontinuidad de Baire”. Matemáticas. Enseñanza Universitaria, XIII, 63-82.
Sierpinski, W. (1931). “Les ensembles analytiques comme cribles au moyen des ensembles fermés”. Fund. Math.(17), 77-91.
Sierpinski, W. (1950). Les ensembles projectifs et analytiques. Paris: GhautierVillars.
Sion, M. (1961). “Continuous images of Borel sets”. Proc. Am. Math. Soc.(12), 385-391.
Sneider, V. (1945). “Teoría descriptiva de conjuntos en espacios topológicos”. Dokl. Akad. Nauk SSSR(50), 77-79.
Stone, A. (1962). Non-separable Borel sets. Warszawa: Rozprawy Matematyczne.
Zermelo, E. (1904). “Proof that every set can be well-ordered”. En J. Van Heijenoort, From Fregue to Gödel.. A Sorce Book in mathematical logic 1879-1931 (págs. 139-141). Cambridge: Harvard University Press.
Zermelo, E. (1908). “A New proof of the possibility of a well-ordering”. En J. Van Heijenoort, From Fregue to Gödel. A Source Book in mathematical Logic, 1879-1931.(págs. 183-198). Cambridge: Harvard University Press.
Recalde, L. C., & Beltrán, A. C. (2017). Some philosophical disquisions around the problem of the existence of infinite in mathematics. Praxis Filosófica, (45S), 219–241. https://doi.org/10.25100/pfilosofica.v0i45S.6147
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Received 2018-02-01
Accepted 2018-02-01
Published 2017-07-15
Accepted 2018-02-01
Published 2017-07-15
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